指数関数のTaylor展開の部分和

mona 2008/10/22 09:47

間違っているかもしれませんが，

$E_n(x):=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}$

として，無理矢理，

$\frac{d}{dx}E_n(x) = E_n(x) -\frac{x^k}{k!}$

という微分方程式を作ると，これは，

$E_n(x) = a_n(x) e^x$

と置くと解けて，結局，元の関数は，

$E_n(x) = (1 -\frac{\gamma(n+1,x)}{n!}) e^x$

ここで $\gamma(n+1,x)$ は不完全ガンマ関数，

http://mathworld.wolfram.com/IncompleteGammaFunction.html

となりそうなのですがどうでしょうか．

そもそも，不完全ガンマ関数を使って閉じたというのかという問題もありますが
間違っていたら，恥ずかしいのでこのコメントは削除してください．

というコメントをいただいた．ありがとうございます．私は複素変数での振舞いとかはよく分かりませんが，合ってるんじゃないでしょうか... と言うか，この解法を思い付く方が見過ごして私が見過ごさない誤りなんてないような．微分方程式を立てるというのは私のレパートリーになかったので覚えておきます．
MathWorldのリンクを辿ると題意の関数には "Exponential Sum Function" という名前が付けられているようですね．そしてやはり不完全（「上側」）Γ関数による表示が与えられているんで，これ以上は望めないみたいですね．

http://mathworld.wolfram.com/ExponentialSumFunction.html