BSをこうやって処理しようとしてできなかった

量子光学でBeam Splitterの相互作用Hamiltonianに関係する式なのだが,
A \equiv a^\dagger_1 a_2 - a^\dagger_2 a_1
とすると,a^\daggerとの交換関係と等価な式を行列形式で
A \left(\begin{matrix} a^\dagger_1 & a^\dagger_2 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} a^\dagger_1 & a^\dagger_2 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} A & 1 \\ -1 & A \end{matrix}\right)
と略記できる.この形を基にすればA^ka^\daggerとの交換関係は
\left(\begin{matrix} A & 1 \\ -1 & A \end{matrix}\right)^k = \left(\begin{matrix} f_k(A) & g_k(A) \\ -g_k(A) & f_k(A) \end{matrix}\right)
から計算できる.ここで2種類の多項式
f_k(x) \equiv \frac{1}{2}[(x+i)^k+(x-i)^k]
g_k(x) \equiv \frac{1}{2i}[(x+i)^k-(x-i)^k]
と定義される.See also Sloane's A096754 ( http://www.research.att.com/~njas/sequences/A096754 )
追記:A^k (a^\dagger)^nA^k(a^\dagger)^nより右に移したかったんだけど,(ありがちだが)n重ネストした和が出て処理しきれなくなってしまったという話.