Sommerfeld展開

物理 数学

CPUの創りかたの話題だけでは何かちょっとアレなので， Ashcroft and Mermin, Solid State Physics, Thomson Learning のAppendixにあるSommerfeld展開の話で省略されている式変形をここに書いておこう．Sommerfeld展開とは，Fermi関数を
\displaystyle f(E)\equiv\frac{1}{\exp\left(\frac{E-\mu}{k_B T}\right) + 1}
とするとき， E=\mu の近くで急激な変化をしない任意の関数H(E)について以下の変形が使えるというものだ．
\displaystyle \int_{-\infty}^\infty H(E)f(E)dE = \int_\infty^\mu H(E)dE + \sum_{n\ge 1} a_n H^{(2n-1)}(\mu) (k_B T)^{2n}，
ここで \displaystyle a_n \equiv \large \int_{-\infty}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} \left( -\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x + 1} \right)
テキストでは a_n の数値的評価のために "by elementary manipulation" として以下の式を与えている．
a_n = \large 2\left( 1-\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}-\cdots\right) = \left[ 2-\frac{1}{2^{2(n-1)}} \right]\zeta(2n) ，ここでζはRiemannのζ関数．
こいつの証明．まず a_n を定義する積分の被積分関数は偶関数なので
a_n = \large 2\int_0^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} \left( -\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x + 1} \right)
であり，これに
\displaystyle\large -\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x + 1} = \frac{d}{dx}\frac{-e^{-x}}{1-(-e^{-x})} = \frac{d}{dx}\sum_{k\ge 1}(-e^{-x})^k = \sum_{k\ge 1}(-1)^{k+1}ke^{-kx}
を代入すると
a_n = \large \frac{2}{(2n)!}\sum_{k\ge 1}(-1)^{k+1}k\int_0^\infty x^{2n}e^{-kx}dx = \frac{2}{(2n)!}\sum_{k\ge 1}(-1)^{k+1}k\int_0^\infty \frac{t^{2n}}{k^{2n}}e^{-t}\frac{dt}{k}\qquad\qquad (kx\equiv t)
\large \qquad = \frac{2}{(2n)!}\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^{k+1}}{k^{2n}}\Gamma(2n+1) = 2\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^{k+1}}{k^{2n}} = 2\left( 1-\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}-\cdots\right)
\large \qquad = 2\left[ \sum_{k\ge 1}\frac{1}{k^{2n}} - \sum_{l\ge 1}\frac{2}{(2l)^{2n}} \right] = 2\left( \sum_{k\ge 1}\frac{1}{k^{2n}} - \frac{2}{2^{2n}}\sum_{l\ge 1}\frac{1}{l^{2n}} \right) = \left[ 2-\frac{1}{2^{2(n-1)}} \right]\zeta(2n)
を得る．なお，特に
\displaystyle a_1 = \left(2-\frac{1}{2^0}\right) \sum_{k\ge 1}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}
である．これは 杉浦，解析入門I，東大出版 では第IV章 積分法，§13 一様収束と項別微積分，例11（Arcsinの級数展開とその応用）や第V章 級数，§4 アーベルの定理，例1（絶対値が単調に0へと収束する交代級数の収束）で扱われている．