メモ：光学の公式と俺俺記法

複素電場 $\vec{\mathcal{E}}(r,z,t) = \vec{E}(r,z) e^{i\omega t}$

複素電場振幅vector $\vec{E}(r,z) = E(r,z) \vec{e}_{1,2}$

複素電場振幅，Gaussianの場合 $E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} e^{-r^2/w^2(z)} e^{-ikz-ik\frac{r^2}{2R(z)}+i\zeta(z)}$

$w(z) \equiv w_0\sqrt{1+(z/z_R)^2}$

$z_R \equiv \frac{\pi w_0^2}{\lambda}$

$\theta \equiv \frac{w(z)}{z} \to \frac{\lambda}{\pi w_0}$ $(z\to\infty)$

$\zeta(z) \equiv \arctan(z/z_R)$

$q(z) \equiv [\frac{1}{R(z)} - i\frac{\lambda}{\pi w_0^2(z)}]^{-1} = z + i z_R$

$R(z) \equiv z [1+(z_R/z)^2]$

対応する磁場関連

$\vec{\mathcal{B}}(r,z,t) = \frac{\vec{k}}{\omega}\times\vec{\mathcal{E}}(r,z,t)$ , where $\vec{k} \parallel \vec{e}_z$

$\vec{\mathcal{H}}(r,z,t) = \frac{1}{\mu_0}\vec{\mathcal{B}}(r,z,t)$

Poynting vector （瞬間的なenergy flux density） $\vec{S}(r,z,t) = \Re[ \vec{\mathcal{E}}(r,z,t) ] \times \Re[ \vec{\mathcal{H}}(r,z,t) ] \approx \frac{1}{4} ( \vec{\mathcal{E}}\times\vec{\mathcal{H}}^* + c.c. )$

$|\vec{S}| \propto \cos\omega t$ で速過ぎるのでその時間平均が強度： $I(r,z) = \frac{1}{T}\int_0^T |\vec{S}(r,z,t)|dt = \frac{|E(r,z)|^2}{2Z}$

Z: impedance （真空では $\mu_0 c$ ）

$I_0 \equiv I(0,0) = \frac{|E(0,0)|^2}{2Z} = \frac{2P}{\pi w_0^2}$

行きと帰りで強度の異なるlattice （TODO: 位相，パワー換算，感受性）

$E_1 \equiv E, E_2 \equiv E-\Delta E$

$E_{tot} = E_1 \cos(kx-\omega t) + E_2 \cos(-kx-\omega t)$ = $E [ cos(kx-\omega t) + \cos(-kx-\omega t) ] - \Delta E \cos(-kx-\omega t)$ = $2E \cos(kx)\cos(\omega t) - \Delta E \cos(-kx-\omega t)$