歪む歪むよ格子は歪む - flatlineの日記跡地

N個の杭が地面に打ってあり，粒子がそれらにN本のバネっぽいものでつながれている．粒子の平衡位置 $\vec{r}_0$ はどこか？
「バネっぽいもの」が普通のバネであるとき，ポテンシャルは
$U=\sum_i \frac{k}{2}|\vec{r}-\vec{r}_i|^2$
なので -∇U=0 を解くのは高校レベルであり $\textstyle \vec{r}_0 = (1/N) \sum_i \vec{r}_i$ を得る．
しかしバネの自然長aを無視できないとするとポテンシャルは
$U=\sum_i \frac{k}{2}(|\vec{r}-\vec{r}_i|-a)^2$
となり，解けなくなってしまう．そのバリエーションの
$U=\sum_i \frac{k}{2}(|\vec{r}-\vec{r}_i|^2-a^2)^2$
とか，バネの代わりにCoulombポテンシャルっぽい反発を使った
$U=\sum_i \frac{c}{|\vec{r}-\vec{r}_i|}$
とか色々考えられるけど，やっぱり解けない((N=3くらいをMathematicaの関数Reduceに放り込んでみたんだけど，駄目だった．前提条件はElement[rx, Reals]等ときちんと指定したつもりだったんだが．))．解析解が出るポテンシャルって最初の他にないのかな？
格子を局所的に歪ませたときに歪みがある程度の広さまで伝播する様子をシミュレートしたいと思って上の問題に行き当たった．なんで最初のバネ引力じゃ駄目かと言うと，格子点同士が接近してくっついちゃうのを防げないから．もちろん後のやつらはNewton法とかの反復法で数値的に解けばいいんだけど，計算量をできる限り減らしたかったので．