傾いた円の式

計算ミスが酷くて「円 (R cos θ, R sin θ, 0) の軸を (p, q, r) 方向に傾けたときの式」が昨日から全然見つからない．極座標の特異性を避けられると噂のクォータニオンを使って取り組んでるんだが，なんかさっぱり．得た式が (p, q, r) と直交してくれないのだ... うぅぅ．

• http://staff.aist.go.jp/toru-nakata/quaternion.html ７０秒で分る、使える、四元数・４元数・クォータニオン・ Quaternionで回転

別のやり方として「点 P(x, y, z) は半径 R の球上にあり，ベクトル OP は (p, q, r) と直交する」ことから（z を消去した上で）x と y の関係式を書き下し，それは二次形式なので主軸変換して楕円の式に持って行って適当にパラメトライズすることも試したのだが，主軸変換で逆三角関数を使うので等価変形できてるのか怪しいのと，そもそも酷い式しか出てこない．
はぁ，だめぽ．