回転

大学4年にもなってアレだけど，感動したので書いておく．「点 P(x, y) を原点中心に反時計回りにθだけ回転させると点 Q(x', y') に来た」とき，これらの座標の関係は
x' = cosθ x - sinθ y
y' = sinθ x + cosθ y
であって
x' = cosθ x + sinθ y
y' = -sinθ x + cosθ y
でも
x' = sinθ x + cosθ y
y' = cosθ x - sinθ y
でも（以下略）でもない．やっぱりこれらが昔から覚えられなくて困ってた．とりあえず

θ=0 で cosθ=1 なので x' の式には cosθ x が， y' の式には cosθ y が入り，次に絵を描くとx軸上の点はちょっと回したとき大まかに言って左上に動くので x' には -sinθ y が， y' には sinθ y が入る

と覚えてたのだが，どうにもかっこ悪い．
そこでこうだ！

極座標ではPの座標は
x = r cosφ
y = r sinφ
と置けるが，このときQについては
x' = r cos(φ+θ) = r (cosφcosθ - sinφsinθ) = x cosθ - y sinθ
y' = r sin(φ+θ) = r (sinφcosθ + cosφsinθ) = y cosθ + x sinθ

すばらしい．もう二度と忘れることはあるまい．何気なく開いた Foley, van Dam, Feiner および Hughes, コンピュータグラフィックス 理論と実践，オーム社 のおかげ． ...と抜け抜けと貰い物について書いているが，内心は...