変数名

雑記 数学

どうでもいいことだが，変数名（引数名）って関数の一部なんだろうか．つーかそう考えたほうがいいんだろうか．
集合論の教科書の最初のほうに書いてあるように定義域と値域の直積の部分集合（の特別なもの）とだけ考えていては，微分や積分等の操作との相性がよくないような... 記法の問題かも知らんが．
\large \frac{df}{dx}
という記法は，関数が自らの内部に引数名を持ってるという前提があるよね．そうだとすると，うるさいことを言えば
\large \frac{df}{dx}(x)
という記法は，xがfの引数名と，その導関数の引数もしくは引数名の両方に使われてるのでおかしいと思う*1．
Dfだとその心配はなくなるが，しかし2変数関数とかどうすんだという話になる．微分演算子Dに添え字をつけて，「3番目の変数について極限を取る」とか明示するのか？（ぉぃ
積分だとやはり似たような問題が．しかも「微積分学の基本定理」を使って導関数を積分するときは変数名について二重に悩むことになる．
\large \int_0^x \frac{df}{dx}(x)dx = f(x) + C
積分も「演算子」っぽく書きたいときには\int dx f(x)と書くことがあるが，やはりこれはfが引数名を「知っている」ことを前提にしてる．でもインテグラルからdxとかを取っ払う記法はあまり見ない*2．
うーん，シャドウイングを暗黙のうちに使えばいいのかな．
またプログラミングに手を染めたせいで無名関数にはけっこう親しんだのだけれど， x → sin(x) という（無名）関数と t → sin(t) という関数は「同じ」なはずだ*3．しかしこいつらの微分という操作はどう書けばよいのやら．なおここでは極限を取る具体的な過程に拠らず，一般的に関数から関数への写像として捉えたい．
どうでもいい話，確かにそうかも知れないが，微分方程式d^2y/dx^2=fを解くためには通過しないといけないよね？

*1:「fは関数でf(x)は値だ」とかいう話があるが，私が今している話はどちらにせよ同じことだ．

*2:微分形式の話をするとき（Stokesの定理とか）でちょくちょく見るが，ちょっと意味が違うような．

*3:関数の等価性は色々悩ましい話に突入しそうなのでnaiveに済ませておく．