Cholesky, LDL^T

勉強 数学

正定値だが（主座小行列式がそれぞれ 1, 2, 10）非対称な行列
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 1 & 4 & 7 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right)
主座小行列式が非零で（それぞれ-1, 1, 2）対称だが正定値でない行列
\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
正定値で（主座小行列式がそれぞれ 1, 2, 6）対称な行列
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1.414 & 0 \\ 2 & 0 & 1.732 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1.414 & 0 \\ 0 & 0 & 1.732 \end{array}\right)
本当は，せっかく対称ならわざわざLU分解をしなくても半分の手間で（上だけ見て）LDL^T分解ができる．

http://www.cs.ut.ee/~toomas_l/linalg/ （行列の数値計算向けの線形代数の講義資料）
id:flappphys:20050303#p3 で触れた 森，杉原および室田，線形計算，岩波講座応用数学12 を教科書にしてるので，伊理正夫，一般線形代数，岩波書店 が手元にあればそっちの方がよさそうだけど（← は元々岩波講座応用数学の中の本なので，タイアップしてそう）．