Green関数法

勉強 数学

Green関数法やSturm-Liouville型境界値問題についての短い簡単な入門書である 松浦，小泉及び吉田，物理・工学のためのグリーン関数入門，東海大学出版会 をほぼ読み終えた．証明を大量に省いてある*1とは言え，やはり全体像をつかむにはこういう本はありがたい．議論の展開にツッコミどころがないではなかったがとりあえずスルー．いくつも載っている平易な計算例がうれしい．この本でなくとも物理数学では特定トピックに絞った薄い本がちょこちょこ出版されているので，適当なものをうまく図書館で探せば色々役に立つことが多い．
読んでいるとき，頻繁に「この位の内容，できる人なら1, 2年のうちに終らせてるんだろーな」という邪念が頭をよぎった．まぁ私が「今になって読んでいる」ことは確かにそれ程喜ばしいことではないにせよ，「今になって読んでいる」ことは小さい一歩であるので，自分をほめてあげたいと思いますby有森（ぉ） これで静電荷の電磁気学もばっちりですNE!
繰り返すがこれは簡単な本で証明が大量に省かれていた．そこで次はその飛躍を埋めたり，同じ内容でもより詳細な扱いをしている本を当たったりしよう．今村本がいいのかな？ 知識が増えれば，新たに勉強すべき内容もはっきり見えてくる．こうしてスパイラル方式で勉強していくのは悪い方法ではないと思う．まぁ今までサボってきたおかげで他にtaskが山積みであり，次にこのトピックに戻ってくるのはかなり先になりそうだが... orz
どうでもいい話：Liouvilleはフランス人だが，正しい発音は「リゥヴィル」でいいんだろうか？ 例えばWeylが「ヴェイユ」なのであれば，「リゥヴィユ」なのではないのか？ 私はフランス語に全く無知だ．それはともかくLiouville殿について→ http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Liouville.html

追記：

W　e　y　l　は　「　ワ　イ　ル　」　だ　っ　た　（ぉぉぃ

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Weyl.html Weyl（ワイル）殿について

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Weil.html Weil（ヴェイユ）殿について

だからフランス語は分からないって言っただろう！！！ つーかWeylはドイツ人だ！ でもドイツ人名にはちょっと見えない！

以下，目次．

  1. グリーン関数への準備（非同次微分方程式）
    1. 微分作用素
    2. 随伴微分表式
    3. 自己随伴作用素
  2. グリーン関数を理解するためのスツルム・リュービル型の固有値・境界値問題
    1. 固有値問題
    2. 境界値問題
    3. 例題による説明
    4. スツルム・リュービル系の固有値・境界値問題と完全正規直交関数系
      1. 固有関数の直交性
      2. 固有関数の完全性（パーセバルの等式）
      3. 固有関数によるデルタ関数の表現
    5. 固有値に関する定理
      1. 固有値の実数性
      2. 最小固有値の存在
      3. 固有値は加算無限個存在する
    6. スツルム・リュービル系と変分問題
      1. 変分法の説明
      2. スツルム・リュービル系を生ずる変分問題
      3. 双一次変分形式とラグランジュ乗数
    7. 比較定理と分離定理および解の漸近特性
      1. スツルムの比較定理
      2. スツルムの分離定理
      3. 固有値と固有関数の漸近的性質
  3. グリーン関数
    1. グリーン関数とは
      1. スツルム・リュービル型微分方程式の解を表現するためのグリーン関数
      2. グリーン関数が満たす方程式
    2. グリーン関数の性質
      1. グリーン関数を求めるのに役立つ性質
      2. グリーン関数の対称性
    3. グリーン関数の求め方（その1：基本解を用いる方法）
      1. 求め方の説明
      2. 計算例
    4. グリーン関数の求め方（その2：固有関数展開を用いる方法）
      1. グリーン関数の固有関数展開
      2. 具体的な例題
    5. グリーン関数の求め方（その3：フーリエ変換を用いる方法）
    6. グリーン関数の物理工学的意味
      1. インパルス応答としてのグリーン関数
      2. 電磁理論の例
    7. 積分方程式とグリーン関数の関係
  4. 偏微分方程式の基本的グリーン関数
    1. 方程式の説明
    2. ヘルムホルツ方程式のフーリエ変換
    3. フーリエ逆変換の計算
  5. 3次元波動方程式のグリーン関数
    1. 主要解
    2. 解法
    3. 波動方程式の初期値問題とD関数
  6. （付録）グリーン関数の工学的応用
    1. 2変数の2階線形偏微分方程式のグリーン関数による解法の一般的考え
    2. 双曲型 (0<B^2-AC)：波動方程式
    3. 双曲型：波動問題
    4. 放物型 (B^2-AC=0)：熱伝導・拡散問題
    5. 無限媒質中での拡散問題
    6. 楕円型 (B^2-AC<0)：2次元ラプラス方程式
    7. マクスウェル方程式への応用

*1:あるセクションの内容が，ある定理のステートメントを述べて，出てきた言葉の意味をちょっと解説するだけだったりする．でもってその定理は紹介しただけでこの本では使われない．