微積分法の基本公式の拡張 - flatlineの日記跡地

杉浦解析では2次元のStokesの定理（Greenの定理と呼んでいる）に適用するために $\int_a^b\frac{df}{dx}dx=f(b)-f(a)$ を拡張した $\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dy$ $=f(x,\psi(x))\psi'(x)-f(x,\phi(x))\phi'(x)$ $+\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}\frac{\partial f}{\partial x}{(x,y)dy$ を使っている．これの覚え方...
最後の項はいわゆる「お釣り」．左辺では $\frac{d}{dx}$ が登場するが，それが $\int dy$ の内側に入り込んだ形．ただし $\frac{\partial}{\partial x}$ に変化してるのを忘れてはならない... 「左辺において「積分済み」の式はy*1の関数ではないので普通のdを使うが，被積分関数fはxとyの２変数関数なのでfに適用するには $\partial$ に変える」と覚える．もちろん「変える」なんて言葉遣いは厳密にはおかしいんだけど．
最初の2項は元の式にかなりそっくり対応している．それぞれ $\psi'(x)$ などが掛かっているが，これは合成関数の微分（連鎖律）に伴う「お釣り」という解釈でどうだ．
そう言えば微分形式については以前に入門書を最初の方だけ眺めた経験しかないんで，いずれきっちり勉強しなきゃと思いつつ，以下略．微分というのは接空間のvectorに対する双対vectorなんだよね...

*1:yは積分内のみで登場するダミー変数である．