Bogoliubov準粒子の真空 - flatlineの日記跡地

今日のlabのゼミで井上先生がBogoliubov準粒子の導入などを話していた．
Bogoliubov変換で得られる消滅演算子 $b_k \equiv u_k a_k-v_k a_{-k}^\dagger$ に対して $b_k |\Psi_0\rangle=0$ を満たす「真空」 $|\Psi_0\rangle$ って教科書だと
$|\Psi_0\rangle = \frac{\exp[(v_k/u_k)a_k^\dagger a_{-k}^\dagger]}{u_k} |0\rangle$
らしいんだが，自分で
$|\Psi\rangle \equiv \sum_{l,m} c_{l,m} (a_k^\dagger)^l (a_{-k}^\dagger)^m |0\rangle$
を仮定して $u_k a_k |\Psi\rangle = v_k a_{-k}^\dagger |\Psi\rangle$ から係数を決めてみたら（ $a_k (a_k^\dagger)^n |0\rangle = n (a_k^\dagger)^{n-1} |0\rangle$ を使う）
$|\Psi_0'\rangle = \sum_m c_{0,m} (a_{-k}^\dagger)^m \frac{\exp[(v_k/u_k)a_k^\dagger a_{-k}^\dagger]}{u_k} |0\rangle$
もアリのような気がしてきてしまった． $c_{0,m}$ は規格化因子だが互いの任意性はある．Unitary変換とか良く分からん...