八面体の結晶場
そういや日曜に手計算*1の前にMathematicaで計算していたので貼っておこう．
Mathematicaでは，例えばSeries[f[x,y,z],{x,0,6},{y,0,6},{z,0,6}]でfを各文字につき0を中心にして6次まで級数展開できる．しかしこれではx^6 y^6 z^6とかの項が含まれてしまう．私はそのような項を除くために，結果に対しまずNormalで使わないビッグOを捨ててからExpandで積の和の形に直し，次いで % /. -> {x->k x, y->k y, z->k z} と置換を行い各変数に共通のダミー因数kを導入した．切る項をkの次数により統一的に判断できる．高次項を切る置換が % /. k^i_ /; i>6 -> 0 である．k^i_のiにアンダーバーがついてることに注意．なお途中のAssuming[a>0,Simplify[%] ]は邪魔なSqrt[a^2]をaに直すためにやってる．
- http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Series.html
- http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Assuming.html
- http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Condition.html
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Mathematica 5.0 for Sun Solaris (UltraSPARC)
Copyright 1988-2003 Wolfram Research, Inc.
-- Terminal graphics initialized --
In[1]:= Series[((a-x)^2+y^2+z^2)^(-1/2)+((-a-x)^2+y^2+z^2)^(-1/2),{x,0,6},{y,0,6},{z,0,6}]
2 2 2 2 4 2 6
2 Sqrt[a ] Sqrt[a ] z 3 Sqrt[a ] z 5 Sqrt[a ] z 7
Out[1]= ((---------- - ----------- + ------------- - ------------- + O[z] ) +
2 4 6 8
a a 4 a 8 a
2 2 2 2 4 2 6
Sqrt[a ] 3 Sqrt[a ] z 15 Sqrt[a ] z 35 Sqrt[a ] z
> (-(--------) + ------------- - -------------- + -------------- +
4 6 8 10
a 2 a 8 a 16 a
2 2 2 2 4
7 2 3 Sqrt[a ] 15 Sqrt[a ] z 105 Sqrt[a ] z
> O[z] ) y + (---------- - -------------- + --------------- -
6 8 10
4 a 8 a 32 a
2 6
315 Sqrt[a ] z 7 4
> --------------- + O[z] ) y +
12
64 a
2 2 2 2 4 2 6
-5 Sqrt[a ] 35 Sqrt[a ] z 315 Sqrt[a ] z 1155 Sqrt[a ] z
> (----------- + -------------- - --------------- + ---------------- +
8 10 12 14
8 a 16 a 64 a 128 a
2 2 2
7 6 7 2 Sqrt[a ] 6 Sqrt[a ] z
> O[z] ) y + O[y] ) + ((---------- - ------------- +
4 6
a a
2 4 2 6
45 Sqrt[a ] z 35 Sqrt[a ] z 7
> -------------- - -------------- + O[z] ) +
8 10
4 a 2 a
2 2 2 2 4 2 6
-6 Sqrt[a ] 45 Sqrt[a ] z 105 Sqrt[a ] z 1575 Sqrt[a ] z
> (----------- + -------------- - --------------- + ---------------- +
6 8 10 12
a 2 a 2 a 16 a
2 2 2 2 4
7 2 45 Sqrt[a ] 105 Sqrt[a ] z 4725 Sqrt[a ] z
> O[z] ) y + (----------- - --------------- + ---------------- -
8 10 12
4 a 2 a 32 a
2 6
10395 Sqrt[a ] z 7 4
> ----------------- + O[z] ) y +
14
32 a
2 2 2 2 4
-35 Sqrt[a ] 1575 Sqrt[a ] z 10395 Sqrt[a ] z
> (------------ + ---------------- - ----------------- +
10 12 14
2 a 16 a 32 a
2 6
105105 Sqrt[a ] z 7 6 7 2 7 3
> ------------------ + O[z] ) y + O[y] ) x + O[y] x +
16
128 a
2 2 2 2 4 2 6
2 Sqrt[a ] 15 Sqrt[a ] z 105 Sqrt[a ] z 525 Sqrt[a ] z
> ((---------- - -------------- + --------------- - --------------- +
6 8 10 12
a a 2 a 4 a
2 2 2 2 4
7 -15 Sqrt[a ] 105 Sqrt[a ] z 1575 Sqrt[a ] z
> O[z] ) + (------------ + --------------- - ---------------- +
8 10 12
a a 4 a
2 6
17325 Sqrt[a ] z 7 2
> ----------------- + O[z] ) y +
14
16 a
2 2 2 2 4
105 Sqrt[a ] 1575 Sqrt[a ] z 51975 Sqrt[a ] z
> (------------ - ---------------- + ----------------- -
10 12 14
2 a 4 a 32 a
2 6
315315 Sqrt[a ] z 7 4
> ------------------ + O[z] ) y +
16
64 a
2 2 2 2 4
-525 Sqrt[a ] 17325 Sqrt[a ] z 315315 Sqrt[a ] z
> (------------- + ----------------- - ------------------ +
12 14 16
4 a 16 a 64 a
2 6
525525 Sqrt[a ] z 7 6 7 4 7 5
> ------------------ + O[z] ) y + O[y] ) x + O[y] x +
18
32 a
2 2 2 2 4 2 6
2 Sqrt[a ] 28 Sqrt[a ] z 315 Sqrt[a ] z 1155 Sqrt[a ] z
> ((---------- - -------------- + --------------- - ---------------- +
8 10 12 14
a a 2 a 2 a
2 2 2 2 4
7 -28 Sqrt[a ] 315 Sqrt[a ] z 3465 Sqrt[a ] z
> O[z] ) + (------------ + --------------- - ---------------- +
10 12 14
a a 2 a
2 6
105105 Sqrt[a ] z 7 2
> ------------------ + O[z] ) y +
16
16 a
2 2 2 2 4
315 Sqrt[a ] 3465 Sqrt[a ] z 315315 Sqrt[a ] z
> (------------ - ---------------- + ------------------ -
12 14 16
2 a 2 a 32 a
2 6
315315 Sqrt[a ] z 7 4
> ------------------ + O[z] ) y +
18
8 a
2 2 2 2 4
-1155 Sqrt[a ] 105105 Sqrt[a ] z 315315 Sqrt[a ] z
> (-------------- + ------------------ - ------------------ +
14 16 18
2 a 16 a 8 a
2 6
5360355 Sqrt[a ] z 7 6 7 6 7
> ------------------- + O[z] ) y + O[y] ) x + O[x]
20
32 a
In[2]:= % // Normal
2 2 2 2 4 2 6
2 Sqrt[a ] 2 Sqrt[a ] x 2 Sqrt[a ] x 2 Sqrt[a ] x
Out[2]= ---------- + ------------- + ------------- + ------------- +
2 4 6 8
a a a a
2 2 2 2 4 2 6
Sqrt[a ] 6 Sqrt[a ] x 15 Sqrt[a ] x 28 Sqrt[a ] x 2
> (-(--------) - ------------- - -------------- - --------------) y +
4 6 8 10
a a a a
2 2 2 2 4 2 6
3 Sqrt[a ] 45 Sqrt[a ] x 105 Sqrt[a ] x 315 Sqrt[a ] x 4
> (---------- + -------------- + --------------- + ---------------) y +
6 8 10 12
4 a 4 a 2 a 2 a
2 2 2 2 4 2 6
-5 Sqrt[a ] 35 Sqrt[a ] x 525 Sqrt[a ] x 1155 Sqrt[a ] x 6
> (----------- - -------------- - --------------- - ----------------) y +
8 10 12 14
8 a 2 a 4 a 2 a
2 2 2 2 4 2 6
Sqrt[a ] 6 Sqrt[a ] x 15 Sqrt[a ] x 28 Sqrt[a ] x
> (-(--------) - ------------- - -------------- - -------------- +
4 6 8 10
a a a a
2 2 2 2 4 2 6
3 Sqrt[a ] 45 Sqrt[a ] x 105 Sqrt[a ] x 315 Sqrt[a ] x
> (---------- + -------------- + --------------- + ---------------)
6 8 10 12
2 a 2 a a a
2 2 2 2 4
2 -15 Sqrt[a ] 105 Sqrt[a ] x 1575 Sqrt[a ] x
> y + (------------ - --------------- - ---------------- -
8 10 12
8 a 2 a 4 a
2 6
3465 Sqrt[a ] x 4
> ----------------) y +
14
2 a
2 2 2 2 4
35 Sqrt[a ] 1575 Sqrt[a ] x 17325 Sqrt[a ] x
> (----------- + ---------------- + ----------------- +
10 12 14
16 a 16 a 16 a
2 6
105105 Sqrt[a ] x 6 2
> ------------------) y ) z +
16
16 a
2 2 2 2 4 2 6
3 Sqrt[a ] 45 Sqrt[a ] x 105 Sqrt[a ] x 315 Sqrt[a ] x
> (---------- + -------------- + --------------- + --------------- +
6 8 10 12
4 a 4 a 2 a 2 a
2 2 2 2 4
-15 Sqrt[a ] 105 Sqrt[a ] x 1575 Sqrt[a ] x
> (------------ - --------------- - ---------------- -
8 10 12
8 a 2 a 4 a
2 6
3465 Sqrt[a ] x 2
> ----------------) y +
14
2 a
2 2 2 2 4
105 Sqrt[a ] 4725 Sqrt[a ] x 51975 Sqrt[a ] x
> (------------ + ---------------- + ----------------- +
10 12 14
32 a 32 a 32 a
2 6
315315 Sqrt[a ] x 4
> ------------------) y +
16
32 a
2 2 2 2 4
-315 Sqrt[a ] 10395 Sqrt[a ] x 315315 Sqrt[a ] x
> (------------- - ----------------- - ------------------ -
12 14 16
64 a 32 a 64 a
2 6
315315 Sqrt[a ] x 6 4
> ------------------) y ) z +
18
8 a
2 2 2 2 4 2 6
-5 Sqrt[a ] 35 Sqrt[a ] x 525 Sqrt[a ] x 1155 Sqrt[a ] x
> (----------- - -------------- - --------------- - ---------------- +
8 10 12 14
8 a 2 a 4 a 2 a
2 2 2 2 4
35 Sqrt[a ] 1575 Sqrt[a ] x 17325 Sqrt[a ] x
> (----------- + ---------------- + ----------------- +
10 12 14
16 a 16 a 16 a
2 6
105105 Sqrt[a ] x 2
> ------------------) y +
16
16 a
2 2 2 2 4
-315 Sqrt[a ] 10395 Sqrt[a ] x 315315 Sqrt[a ] x
> (------------- - ----------------- - ------------------ -
12 14 16
64 a 32 a 64 a
2 6
315315 Sqrt[a ] x 4
> ------------------) y +
18
8 a
2 2 2 2 4
1155 Sqrt[a ] 105105 Sqrt[a ] x 525525 Sqrt[a ] x
> (------------- + ------------------ + ------------------ +
14 16 18
128 a 128 a 32 a
2 6
5360355 Sqrt[a ] x 6 6
> -------------------) y ) z
20
32 a
In[3]:= Assuming[a>0,Simplify[%]]
18 6 6 6 16 2 2 2
Out[3]= (256 a + 21441420 x y z + 128 a (2 x - y - z ) -
2 4 6 6 6 4 4 2 2
> 420420 a (-5 x y z + 12 x y z (y + z )) +
14 4 2 2 2 2 2 2
> 32 a (8 x - 24 x (y + z ) + 3 (y + z ) ) +
12 6 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3
> 16 a (16 x - 120 x (y + z ) + 90 x (y + z ) - 5 (y + z ) ) -
10 6 2 2 4 2 2 2 2 2 2 3
> 28 a (128 x (y + z ) - 240 x (y + z ) + 80 x (y + z ) -
6 2 4 4 2 6
> 5 (2 y z + 3 y z + 2 y z )) +
8 4 4 2 2 6 2 2 2 4 2 2 3
> 210 a (-3 y z (y + z ) + 96 x (y + z ) - 80 x (y + z ) +
2 6 2 4 4 2 6
> 30 x (2 y z + 3 y z + 2 y z )) -
6 6 6 2 4 4 2 2 6 2 2 3
> 1155 a (-(y z ) + 36 x y z (y + z ) + 64 x (y + z ) -
4 6 2 4 4 2 6
> 60 x (2 y z + 3 y z + 2 y z )) +
4 2 6 6 4 4 4 2 2
> 105105 a (x y z - 6 x y z (y + z ) +
6 6 2 4 4 2 6 19
> 4 x (2 y z + 3 y z + 2 y z ))) / (128 a )
In[4]:= % // Expand
2 4 6 2 2 2 4 2 6 2 4
2 2 x 2 x 2 x y 6 x y 15 x y 28 x y 3 y
Out[4]= - + ---- + ---- + ---- - -- - ------- - -------- - -------- + ---- +
a 3 5 7 3 5 7 9 5
a a a a a a a 4 a
2 4 4 4 6 4 6 2 6 4 6
45 x y 105 x y 315 x y 5 y 35 x y 525 x y
> -------- + --------- + --------- - ---- - -------- - --------- -
7 9 11 7 9 11
4 a 2 a 2 a 8 a 2 a 4 a
6 6 2 2 2 4 2 6 2 2 2
1155 x y z 6 x z 15 x z 28 x z 3 y z
> ---------- - -- - ------- - -------- - -------- + ------- +
13 3 5 7 9 5
2 a a a a a 2 a
2 2 2 4 2 2 6 2 2 4 2 2 4 2
45 x y z 105 x y z 315 x y z 15 y z 105 x y z
> ----------- + ------------ + ------------ - -------- - ------------ -
7 9 11 7 9
2 a a a 8 a 2 a
4 4 2 6 4 2 6 2 2 6 2
1575 x y z 3465 x y z 35 y z 1575 x y z
> ------------- - ------------- + -------- + ------------- +
11 13 9 11
4 a 2 a 16 a 16 a
4 6 2 6 6 2 4 2 4 4 4
17325 x y z 105105 x y z 3 z 45 x z 105 x z
> -------------- + --------------- + ---- + -------- + --------- +
13 15 5 7 9
16 a 16 a 4 a 4 a 2 a
6 4 2 4 2 2 4 4 2 4 6 2 4
315 x z 15 y z 105 x y z 1575 x y z 3465 x y z
> --------- - -------- - ------------ - ------------- - ------------- +
11 7 9 11 13
2 a 8 a 2 a 4 a 2 a
4 4 2 4 4 4 4 4 6 4 4
105 y z 4725 x y z 51975 x y z 315315 x y z
> --------- + ------------- + -------------- + --------------- -
9 11 13 15
32 a 32 a 32 a 32 a
6 4 2 6 4 4 6 4 6 6 4 6
315 y z 10395 x y z 315315 x y z 315315 x y z 5 z
> --------- - -------------- - --------------- - --------------- - ---- -
11 13 15 17 7
64 a 32 a 64 a 8 a 8 a
2 6 4 6 6 6 2 6 2 2 6
35 x z 525 x z 1155 x z 35 y z 1575 x y z
> -------- - --------- - ---------- + -------- + ------------- +
9 11 13 9 11
2 a 4 a 2 a 16 a 16 a
4 2 6 6 2 6 4 6 2 4 6
17325 x y z 105105 x y z 315 y z 10395 x y z
> -------------- + --------------- - --------- - -------------- -
13 15 11 13
16 a 16 a 64 a 32 a
4 4 6 6 4 6 6 6 2 6 6
315315 x y z 315315 x y z 1155 y z 105105 x y z
> --------------- - --------------- + ---------- + --------------- +
15 17 13 15
64 a 8 a 128 a 128 a
4 6 6 6 6 6
525525 x y z 5360355 x y z
> --------------- + ----------------
17 19
32 a 32 a
In[5]:= % /. {x->k x,y->k y,z->k z}
2 2 4 4 6 6 2 2 4 2 2 6 4 2
2 2 k x 2 k x 2 k x k y 6 k x y 15 k x y
Out[5]= - + ------- + ------- + ------- - ----- - ---------- - ----------- -
a 3 5 7 3 5 7
a a a a a a
8 6 2 4 4 6 2 4 8 4 4 10 6 4
28 k x y 3 k y 45 k x y 105 k x y 315 k x y
> ----------- + ------- + ----------- + ------------ + ------------- -
9 5 7 9 11
a 4 a 4 a 2 a 2 a
6 6 8 2 6 10 4 6 12 6 6 2 2
5 k y 35 k x y 525 k x y 1155 k x y k z
> ------- - ----------- - ------------- - -------------- - ----- -
7 9 11 13 3
8 a 2 a 4 a 2 a a
4 2 2 6 4 2 8 6 2 4 2 2 6 2 2 2
6 k x z 15 k x z 28 k x z 3 k y z 45 k x y z
> ---------- - ----------- - ----------- + ---------- + -------------- +
5 7 9 5 7
a a a 2 a 2 a
8 4 2 2 10 6 2 2 6 4 2 8 2 4 2
105 k x y z 315 k x y z 15 k y z 105 k x y z
> --------------- + ---------------- - ----------- - --------------- -
9 11 7 9
a a 8 a 2 a
10 4 4 2 12 6 4 2 8 6 2
1575 k x y z 3465 k x y z 35 k y z
> ----------------- - ----------------- + ----------- +
11 13 9
4 a 2 a 16 a
10 2 6 2 12 4 6 2 14 6 6 2 4 4
1575 k x y z 17325 k x y z 105105 k x y z 3 k z
> ----------------- + ------------------ + ------------------- + ------- +
11 13 15 5
16 a 16 a 16 a 4 a
6 2 4 8 4 4 10 6 4 6 2 4
45 k x z 105 k x z 315 k x z 15 k y z
> ----------- + ------------ + ------------- - ----------- -
7 9 11 7
4 a 2 a 2 a 8 a
8 2 2 4 10 4 2 4 12 6 2 4 8 4 4
105 k x y z 1575 k x y z 3465 k x y z 105 k y z
> --------------- - ----------------- - ----------------- + ------------ +
9 11 13 9
2 a 4 a 2 a 32 a
10 2 4 4 12 4 4 4 14 6 4 4
4725 k x y z 51975 k x y z 315315 k x y z
> ----------------- + ------------------ + ------------------- -
11 13 15
32 a 32 a 32 a
10 6 4 12 2 6 4 14 4 6 4
315 k y z 10395 k x y z 315315 k x y z
> ------------- - ------------------ - ------------------- -
11 13 15
64 a 32 a 64 a
16 6 6 4 6 6 8 2 6 10 4 6
315315 k x y z 5 k z 35 k x z 525 k x z
> ------------------- - ------- - ----------- - ------------- -
17 7 9 11
8 a 8 a 2 a 4 a
12 6 6 8 2 6 10 2 2 6 12 4 2 6
1155 k x z 35 k y z 1575 k x y z 17325 k x y z
> -------------- + ----------- + ----------------- + ------------------ +
13 9 11 13
2 a 16 a 16 a 16 a
14 6 2 6 10 4 6 12 2 4 6
105105 k x y z 315 k y z 10395 k x y z
> ------------------- - ------------- - ------------------ -
15 11 13
16 a 64 a 32 a
14 4 4 6 16 6 4 6 12 6 6
315315 k x y z 315315 k x y z 1155 k y z
> ------------------- - ------------------- + -------------- +
15 17 13
64 a 8 a 128 a
14 2 6 6 16 4 6 6 18 6 6 6
105105 k x y z 525525 k x y z 5360355 k x y z
> ------------------- + ------------------- + --------------------
15 17 19
128 a 32 a 32 a
In[6]:= % /. k^i_ /; i>6 -> 0
2 2 4 4 6 6 2 2 4 2 2 6 4 2
2 2 k x 2 k x 2 k x k y 6 k x y 15 k x y
Out[6]= - + ------- + ------- + ------- - ----- - ---------- - ----------- +
a 3 5 7 3 5 7
a a a a a a
4 4 6 2 4 6 6 2 2 4 2 2 6 4 2
3 k y 45 k x y 5 k y k z 6 k x z 15 k x z
> ------- + ----------- - ------- - ----- - ---------- - ----------- +
5 7 7 3 5 7
4 a 4 a 8 a a a a
4 2 2 6 2 2 2 6 4 2 4 4 6 2 4
3 k y z 45 k x y z 15 k y z 3 k z 45 k x z
> ---------- + -------------- - ----------- + ------- + ----------- -
5 7 7 5 7
2 a 2 a 8 a 4 a 4 a
6 2 4 6 6
15 k y z 5 k z
> ----------- - -------
7 7
8 a 8 a
In[7]:= % /. k->1
2 4 6 2 2 2 4 2 4 2 4
2 2 x 2 x 2 x y 6 x y 15 x y 3 y 45 x y
Out[7]= - + ---- + ---- + ---- - -- - ------- - -------- + ---- + -------- -
a 3 5 7 3 5 7 5 7
a a a a a a 4 a 4 a
6 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2
5 y z 6 x z 15 x z 3 y z 45 x y z 15 y z
> ---- - -- - ------- - -------- + ------- + ----------- - -------- +
7 3 5 7 5 7 7
8 a a a a 2 a 2 a 8 a
4 2 4 2 4 6
3 z 45 x z 15 y z 5 z
> ---- + -------- - -------- - ----
5 7 7 7
4 a 4 a 8 a 8 a
In[8]:= With[{r={x->y,y->z,z->x}},%+(%/.r)+(%/.r/.r)]
4 6 2 2 4 2 4 2 4 6
6 7 x 3 x 21 x y 45 x y 7 y 45 x y 3 y
Out[8]= - + ---- + ---- - -------- - -------- + ---- - -------- + ---- -
a 5 7 5 7 5 7 7
2 a 4 a 2 a 8 a 2 a 8 a 4 a
2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 4
21 x z 45 x z 21 y z 135 x y z 45 y z 7 z
> -------- - -------- - -------- + ------------ - -------- + ---- -
5 7 5 7 7 5
2 a 8 a 2 a 2 a 8 a 2 a
2 4 2 4 6
45 x z 45 y z 3 z
> -------- - -------- + ----
7 7 7
8 a 8 a 4 a*1:無論，手計算ならば次数や対称性を考察して不要な項を初めから避けられるので，下に貼ったような膨大な式を書くことはない．
