多元環（代数）でない環 - flatlineの日記跡地

結局，多元環（代数）でない環ってやっぱZが代表かな... 非可換なのだと2×2整数行列の環 M(Z, 2) か．なんかつまらん．
これでどうだ： 1と非可換な元はないのでp, qがないといけない．R = Z + Zp + Zq として p*p = p*q = p, q*p = q*q = q なる積を考え，分配律を満たすようにする．つまりZ^3に (a,b,c) * (d,e,f) = (ad, ae+bd+be+bf, af+cd+ce+cf) なる積を入れるということ．
追記：線形表現（？）すると以下の通り：
$p=\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)$ , $q=\left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right)$
まぁ M(Z, 2) から1次元減っただけね．一応「最小」の非可換環を一つだけど．
てか，「scalar倍」ってのは体Kでなく環Sについて S×R → R のこともそう呼ぶ場合があるらしい．すると1の存在と分配律から n(r*s) = (nr)*s = r*(ns) は常に成り立つじゃん．意味のない問だったか．この辺ややこしい．
何をしてるのかと言うと，例えば体の公理は8つかそこらあったと思うが，してみれば単純計算で体「以下」の数学的構造として2^8=256種類が考えられる*1．そのうちいくつかの例を探しているのだ．以前から少しずつ．まぁ Wikipedia:"Algebraic structure" とか Wikipedia:"Magma (algebra)" のおかげで不毛な遊びだという自覚はある．

*1:積が入ってなければ分配律どころじゃなかったりして，本当はもっと少ないはず．