今日の試験

生活

うは，今日って数理手法IIの試験があるじゃん... 完全に忘れてた（ぉぃ）
↑これが朝の書き込み．受けてきました．ここ数日の生活リズムの乱れのせいで昼食後は総合図書館で昏々と眠りについていたのだが，試験開始20分前くらいに見事に目覚めた（人間ってすごいね）．10分間ほどぼ〜っとしてから慌てて6号館へ．63号教室が「 目がぁ〜 人がゴミのようだ」って感じ．
過去問を見て「単純だけど面倒な問が多い」と思っていたのだが，今回も同様で，寝ぼけていたのでひどいミスをしてかなり時間を無駄にした（偏微分方程式の離散化による近似解を手で求めさせるのはどうかと...）．
寝ぼけていると私はこうなる：

  • 1 - 2*(-1/2) = ... えーと...
  • h=1/2のとき (h^2-2) = -7/2
  • u_t = u_{xx} - uって線形だっけ？ 重ね合わせってどうやるんだっけ？

まぁ単位はきっと来るだろう．

講評

  • u(x), u(x+h), u(x+2h)の線形結合でdu/dxを2次の精度で近似するには？ 掃き出し法．しかしこれは序章に過ぎなかった...
  • u_t=iu_{xx}の差分近似法を一つ挙げ，安定条件を求めよ． とりあえず必ず安定な陰的Euler法を示しておいた．条件を求めるのなんてやってられない（ぉぃ）．要するに|u^{n+1}_j/u^n_j|\le1なんだけど．
  • u_{xx} + u = x^2, u(0)=1, u(2)=0 の解を，区間[0...2]を4等分して近似せよ（格子上の値を答える）． 掃き出し法祭り．みさくら風に言えば「あ゛みゃ゛あ゛あ〜〜っ！！！ 409お〜ばぁ〜... お〜ば〜 2296ぅぅぅお゛う゛ーーーー！！！ 共通因数ない！ないひぃ！」って感じかな．解けっこないっつの．Mathematicaによれば...
In[1]:= A = {{-7/4, 1, 0}, {1, -7/4, 1}, {0, 1, -7/4}}

            7                7                7
Out[1]= {{-(-), 1, 0}, {1, -(-), 1}, {0, 1, -(-)}}
            4                4                4

In[2]:= b = {{-15/16}, {1/4}, {9/16}}

            15     1    9
Out[2]= {{-(--)}, {-}, {--}}
            16     4    16

In[3]:= LinearSolve[A, b]

          239      1        169
Out[3]= {{---}, {-(--)}, {-(---)}}
          476      17       476

In[4]:= % // N

Out[4]= {{0.502101}, {-0.0588235}, {-0.355042}}

In[5]:=  DSolve[{u''[x]+u[x]==x^2, u[0]==1, u[2]==0}, u, x]    

                                   2
Out[5]= {{u -> Function[{x}, -2 + x  + 3 Cos[x] - 3 Cot[2] Sin[x] - 
 
>        2 Csc[2] Sin[x]]}}

In[6]:= u[{0, 1/2, 1, 3/2, 2}] /. % // N

Out[6]= {{1., 0.486489, -0.0745921, -0.362246, 0.}}
  • u_t = u_{xx} - u, u(0,t)=u(π,t)=0, u(x,0)=sin2x-4sin3x を変数分離法で解け． \sum_n T_n X_n \sin nx = sin2x - 4sin3x まで来たが最後まで解けなかった（笑）．解はexp(-5t)sin2x - 4exp(-10t)sin3xのようだ．